Функция правдоподобия excel

Практическая работа 3: Вычисление точечных оценок в Excel

Практическая работа 3

Вычисление точечных оценок в Excel

является несмещённой точечной оценкой для дисперсии случайной величины, и такую оценку называют исправленной дисперсией. Для вычисления выборочного значения этой оценки можно использовать статистическую функцию функцию Excel ДИСП, обращение к которой имеет вид:

=ДИСП(арг1; арг2; …; арг30),

где арг1; арг2; …; арг30 – числа или адреса ячеек, содержащих числовые величины.

При изменении диаметра валика после шлифовки была получена следующая выборка (объемом n = 55):

По выборке вычислить оценку

Решение. Первоначально, начиная с ячейки А3, введем в столбец А 55 элементов выборки (рис. 1). Затем, используя функции КВАДРОТКЛ, ДИСП (как показано на рис. 3), вычислим оценку. Видно ожидаемое совпадение двух вычисленных значений.

Рисунок 1 Вычисление исправленной дисперсии

Вычисление оценок максимального правдоподобия

В общем случае не удается получить простых соотношений и оценки вычисляются непосредственным определением точек максимума функционала правдоподобия, т. е. необходимо решить оптимизационную задачу.

Для решения такой задачи в Excel есть команда Поиск решения пункта меню Сервис. Эта команда позволяет решать не только задачи безусловной оптимизации, но и задачи условной оптимизации, т. е. когда ищется максимум функционала с учетом дополнительных ограничений на значения искомых оценок. Например, значение дисперсии не может быть отрицательным.

Применение команды Поиск решения для вычисления оценок максимального правдоподобия покажем на следующем примере.

♦ Пример 2. По выборке примера 1 вычислить оценки максимального правдоподобия для математического ожидания a и дисперсии σ 2 из условия максимума функционала правдоподобия вида:

предполагая при этом, что выборка порождена случайной величиной, подчиняющейся нормальному распределению.

Решение. Первоначально, начиная с ячейки А3, введем в столбец А 55 элементов выборки (диапазон А3:А57). Затем в ячейку С8 занесем произвольное значение a (например, 10), в ячейку D8 – значение σ (например, значение 4 > 0), в ячейке Е8 вычислим σ 2 .

В ячейках В3:В57 запрограммируем вычисление разностей (рис. 3). В ячейке С5 запрограммируем вычисление величины функционала . В верхней части документа на рис.2 показана запрограммированная формула.

Рисунок 2 Подготовка рабочего листа

После этих подготовительных операций можно перейти к выполнению команды Поиск решения. Для этого необходимо обратиться к пункту основного меню Сервис и в появившемся меню щелкнуть мышью на команде Поиск решения. Затем в появившемся диалоговом окне выполнить следующие действия (см. рис. 3):

Рисунок 3 Задание параметров команды Поиск решения

· в поле ввода Установить целевую ячейку: ввести адрес ячейки, в которой вычисляется значение минимизируемого функционала (в нашем примере С5);

· включить опцию Равной: максимальному значению (ищутся

значения, при которых функционал достигает максимального значения);

· в поле Изменяя ячейки: ввести адреса ячеек, в которых находятся значения искомых оценок (в нашем примере это ячейки С8:D8);

щелкнув мышью на кнопке Добавить, сформировать ограничения на значения искомых оценок (в нашем примере это требование σ ≥ 0.0 чтобы ln(σ ) не был равен –∞).

Рисунок 4 Результаты выполнения команды Поиск решения

Из рис. 4 видно, что вычисленные значения оценок находятся в ячейках С8, D8 и равны а = 17.907, σ = 2.933. Ячейка С5 содержит значение максимизируемого функционала, равное –137.22.

Сравнивая вычисленные значения оценок a =17.907 и σ 2 = 8.601 с выборочными оценками, видим их полное совпадение.

Вычисление описательных статистик. Описательные статистики можно разделить на следующие группы:

• характеристики положения описывают положение данных на числовой оси (среднее, минимальное и максимальное значения, медиана и др.);

• характеристики разброса описывают степень разброса данных относительно своего центра (дисперсия, размах выборки, эксцесс, среднеквадратическое отклонение и др.);

• характеристики асимметрии определяют симметрию распределения данных относительно своего центра (коэффициент асимметрии, положение медианы относительно среднего и др.);

• характеристики, описывающие закон распределения (частоты, относительные частоты, гистограммы и др.).

Основные характеристики положения, разброса и асимметрии можно вычислить, используя режим Описательная статистика команды Пакет анализа.

Для вызова режима Описательная статистика необходимо обратиться к пункту Сервис, команде анализ данных, выбрать в списке режимов Описательная статистика и щелкнуть на кнопке ОК. В появившемся диалоговом окне Описательная статистика задать следующие параметры (рис. 5):

Рисунок 5 Диалоговое окно описательной статистики

Входной интервал: – адреса ячеек, содержащих элементы вы-

Группирование: – задает способ расположения (по столбцам

или по строкам) элементов выборки.

Метки в первой строке – включается, если первая строка

(столбец) во входном интервале содержит заголовки. Выходной интервал: / Новый рабочий лист: / Новая рабочая

книга – определяет место вывода результатов вычислений. При

включении Выходной интервал: в поле вводится адрес ячейки, начиная с которой будут выводиться результаты.

Итоговая статистика: – включается, если необходимо вывести по одному полю для каждой из вычисленных характеристик.

Уровень надежности: – включается, если необходимо вычислить доверительный интервал для математического ожидания с задаваемым ( в % ) уровнем надежности γ .

К-й наименьший: – включается, если необходимо вычислить к-й наименьший (начиная с min x ) элемент выборки. При к = 1 вычисляется наименьшее значение.

К-й наибольший: – включается, если необходимо вычислить к-й наибольший (начиная с max x ) элемент выборки. При к = 1 вычисляется наибольшее значение.

Пример задания параметров приведен на рис. 5.

Результаты работы режима Описательная статистика выводятся в виде таблицы, в левом столбце которой приводится название вычисленной характеристики, позволяющее однозначно трактовать характеристику. Тем не менее, поясним следующие названия характеристик:

• Интервал – определяет размах выборки ;

• Сумма – определяет сумму всех элементов выборки;

• Счет – определяет число обработанных элементов выборки;

• Уровень надежности – определяет величину x Δ , от которой зависит доверительный интервал для математического ожидания, имеющий вид

где xв – выборочное среднее.

По выборке примера 1 вычислить описательные статистики, используя режим Описательная статистика.

Решение. Первоначально, начиная с ячейки А3, введем в столбец А 55 элементов выборки. После этого обратимся к пункту Сервис, команде Пакет анализа. В списке режимов выберем Описательная статистика. В появившемся диалоговом окне включим параметры, показанные на рис. 3.6, и щелкнем ОК. Вычисленные характеристики приведены в таблице 1.

Читать еще: Стандартная ошибка регрессии в excel

Функция правдоподобия excel

Метод максимального правдоподобия еще один разумный способ построения оценки неизвестного параметра. Состоит он в том, что в качестве «наиболее правдоподобного» значения параметра берут значение , максимизирующее вероятность получить при опытах данную выборку . Это значение параметра зависит от выборки и является искомой оценкой.

Решим сначала, что такое «вероятность получить данную выборку», т.е. что именно нужно максимизировать. Вспомним, что для абсолютно непрерывных распределений их плотность «почти» (с точностью до ) вероятность попадания в точку . А для дискретных распределений вероятность попасть в точку равна . И то, и другое мы будем называть плотностью распределения . Итак,

мы будем называть плотностью распределения .

Если для дискретного распределения величины со значениями , , ввести считающую меру на борелевской -алгебре как

Если же имеет абсолютно непрерывное распределение, то есть привычная плотность относительно меры Лебега :

Функция (случайная величина при фиксированном )

называется функцией правдоподобия . Функция (тоже случайная)

называется логарифмической функцией правдоподобия.

В дискретном случае функция правдоподобия есть вероятность выборке , , в данной серии экспериментов равняться , , . Эта вероятность меняется в зависимости от :

Оценкой максимального правдоподобия неизвестного параметра называют значение , при котором функция достигает максимума (как функция от при фиксированных ):

Поскольку функция монотонна, то точки максимума и совпадают. Поэтому оценкой максимального правдоподобия (ОМП) можно называть точку максимума (по ) функции :

Напомним, что точки экстремума функции это либо точки, в которых производная обращается в нуль, либо точки разрыва функции/производной, либо крайние точки области определения функции.

Пусть , , выборка объема из распределения Пуассона , где . Найдем ОМП неизвестного параметра .

Поскольку эта функция при всех непрерывно дифференцируема по , можно искать точки экстремума, приравняв к нулю частную производную по . Но удобнее это делать для логарифмической функции правдоподобия:

и точка экстремума решение уравнения: , то есть .

1) Убедиться, что точка максимума, а не минимума.

2) Убедиться, что совпадает с одной из оценок метода моментов. по какому моменту?

Пусть , , выборка объема из нормального распределения , где , ; и оба параметра , неизвестны.

Выпишем плотность, функцию правдоподобия и логарифмическую функцию правдоподобия. Плотность:

логарифмическая функция правдоподобия:

В точке экстремума (по ) гладкой функции обращаются в нуль обе частные производные:

Оценка максимального правдоподобия для решение системы уравнений

Решая, получим хорошо знакомые оценки:

1) Убедиться, что , точка максимума, а не минимума.

2) Убедиться, что эти оценки совпадают с некоторыми оценками метода моментов.

Пусть , , выборка объема из равномерного распределения , где . Тогда (см. [3, пример 4.4, с.24] или [1, пример 5, с.91]).

Пусть , , выборка объема из равномерного распределения , где (см. также [1, пример 4, с.91]).

Выпишем плотность распределения и функцию правдоподобия. Плотность:

Функция правдоподобия достигает своего максимального значения во всех точках . График этой функции изображен на рис. 4.

Рис. 4: Пример 10.

Любая точка может служить оценкой максимального правдоподобия. Получаем более чем счетное число оценок вида

при разных , в том числе и , концы отрезка.

1) Убедиться, что отрезок не пуст.

2) Найти оценку метода моментов (по первому моменту) и убедиться, что она иная по сравнению с ОМП. 3) Найти ОМП параметра равномерного распределения .

Функция правдоподобия excel

Величина μx∙t приближённо равна вероятности смерти человека возраста x в интервале (x, x+t). В теории надёжности функция μx называется функцией отказов (hazard rate function).

Верна формула
.
Доказательство.
Решим дифференциальное уравнение .

Таблица смертности населения России для календарного года 2014.
Общепринятые обозначения таблицы смертности населения.

х — возраст (от 0 до 100 лет);
l(x) («эль малое икс») — точное число доживающих до возраста х лет (l(0) обычно принимается за 100000);
d(x)= l(x) -l(x+1)— число умирающих при переходе от возраста х к возрасту х+1 лет;
q(x)=d(x) / l(x) — вероятность умереть при переходе от возраста х к возрасту х+1 лет;
р(x)=1-q(x) — вероятность дожития до возраста х+1 лет для лиц в точном возрасте х лет;
m(x) — коэффициент смертности, он примерно равен средней интенсивности смертности, усредненной по году.
L(x) («эль большое икс») — среднее число живущих в возрасте х (с точки зрения демографии, это число человеко-лет, прожитых поколением в возрасте х), обычно рассчитывается как среднее арифметическое между l(x) и l(x+1) для всех возрастов, кроме 0 (L(0) рассчитывается по особой формуле ввиду крайней неравномерности распределения младенческой смертности);
Т(x) — число человеко-лет, которое предстоит прожить совокупности людей, находящихся в возрасте х лет (сумма L(x) от возраста х до верхнего возрастного предела таблицы);
е(x)=Т(x) / l(x) — средняя ожидаемая продолжительность предстоящей жизни в возрасте х лет. Как правило, под ожидаемой продолжительностью жизни (ОПЖ) понимают ожидаемую продолжительность жизни при рождении, то есть е(0), которая и является итоговым показателем таблицы смертности.

Модель Гомпертца

(Gompertz,1825)
Согласно закону Гомпертца интенсивность смертности для возраста x, x≥0 есть ,
где β обозначает уровень смертности в возрасте 0 лет и γ — скорость старения. То есть интенсивность смертности μx в возрасте x является экспоненциальной функцией возраста.
Функция выживания — .
Кривая смертей — и имеет максимум в точке .

Модель Мэйкхама (Гомпертца-Мейкхама)

(Makeham,1860)
Дополнительный параметр α>0 был добавлен к модели Гомпертца, чтобы учесть интенсивность смерти от несчастных случаев, он предполагается постоянным и независимым от возраста. Получилась следующая модель .

Предложенная Мэйкхамом модель утверждает, что если время жизни X, человека является распределенным по Гомпертцу, случайная величина Y — время несчастного случая со смертельным исходом имеет экспоненциальное распределение, а случайные величины X и Y независимы, то минимум X и Y имеет распределение Мэйкхама. Закон Мэйкхама наиболее подходит для изучения процесса смертности человека, так как в нём учитывается, что для малых возрастов преобладающую роль в смертности играют несчастные случаи, а с увеличением возраста их роль ослабевает. Модель наилучшим образом описывает динамику смертности человека в диапазоне возраста 30—80 лет. В области большего возраста смертность не возрастает так быстро, как предусматривается этим законом смертности.
Исторически смертность человека до 1950-х годов была в большей мере вызвана независимым от времени компонентом закона смертности (членом или параметром Мейкхама), тогда как зависимый от возраста компонент (функция Гомпертца) почти не изменялась. После 1950-х годов картина изменилась, что привело к снижению смертности в позднем возрасте и так называемой «де-ректангуляризации» (сглаживанию) кривой выживания.

Модели Гомпертца и Мейкхама использовались более ста лет в основном страховыми компаниями для прогнозирования смертности за пределами 65 лет.

Оценка параметров.

Пусть представляет вероятность того, что лицо, достигшее возраста x, умрет до достижения возраста x + 1. В терминах μx qx равно

Дополнение представляет вероятность того, что человек в возрасте х выживет, по крайней мере, до возраста x + 1.
Начнем с преобразования модели Мейкхама в линейное уравнение с использованием логарифмического линейного преобразования и подгонки кривой с использованием линейной регрессии.

Верна формула, если интенсивность смертности μx сильно не меняется в течении года.

Беря натуральный логарифм с обеих сторон, получаем:

Затем устанавливается линия тренда с использованием excel в возрасте от 45 до 100 лет.
Мы используем линейное уравнение , где конкретные возрасты от 45 до 100 лет, чтобы преобразовать уравнение Мейкхама в линейную форму. Это связано с тем, что при исследовании логарифма интенсивности смертности между этими возрастами, как было установлено, для оценки точек данных можно использовать прямую линию. Это согласуется с моделью Гомпертца, которая является точной для средних лет.

Поэтому, приравнивая члены, мы видим, что: .
Параметры a и b оцениваются с использованием линейной регрессии, метода наименьших квадратов МНК;

Где x и y с чертой есть выборочные средние соответственно наблюдаемых выборок x и y.
Автономный параметр α был получен, взяв выборку более молодого возраста 20-30 (любой возраст может быть взят) и применения формулы;

Где ym высота градуировочной кривой в выборке моложе 35 лет из эксперимента и yg — высота прямой линии.
Вероятность выживания:
Уровень смертности:

График градуировочной кривой .

График градуировочной кривой и прямой тренда.

По таблице смертности населения РФ 2014-го года получаются следующие параметры:
α=0.00083783
β=0.00046131
γ=0.067795803

Уточнение оценок параметров методом максимального правдоподобия.

Maximum Likelihood Estimation.

Очень часто только дискретные данные доступны и параметры β, γ не могут быть установлены напрямую. Однако, если количество смертей и численность человеко-лет подверженных риску ухода из жизни может быть наблюдаемо, то мы вправе предположить, что число смертей в данном возрастном диапазоне подчиняется распределению Пуассона.
Пусть D обозначает число смертей и λ — параметр интенсивности распределения Пуассона.

Степенной параметр λ распределения Пуассона согласуется с μ(x), оба λ, μ (x)> 0. Интенсивность происшествий λ пуассоновского процесса предполагает одинаковое просматриваемое окно для каждой единицы наблюдений. При применении распределения Пуассона к данным о смертности, единицей наблюдений является количество смертей в каждой возрастной группе Dx и просматриваемое окно — это количество людей (или человеко-лет), подверженных риску ухода из жизни. Понятно, что число людей, которым грозит смерть, изменяется от одной возрастной группы к другой. Поэтому θ следует уравновесить по количеству человеко-лет подверженных смерти l(x) в возрасте x. После подстановки в f(D;λ) λ = l(x)∙θ, взятия логарифма и устранения аддитивных констант, функция логарифмического правдоподобия смертей D будет

Для аналитического получения оценки максимального правдоподобия, обозначим S как оценочную функцию правдоподобия и определим следующим образом

Из максимизации функции правдоподобия следует, что при оптимальных параметрах θ система уравнений, определяемая оценочной функцией, является однородной,

и матрица Гессе

Найдём максимум функции правдоподобия численным методом с использованием excel-ого «Solver» для возраста от 45 до 100 лет, его название «Поиск решения нелинейных задач методом ОПГ». Это численный алгоритм поиска максимума нелинейной функции, в качестве первого приближения возьмём определённые выше оценки параметров β и γ, метод сходится уже после нескольких итераций.

Новые параметры:
α=0.00078390
β=0.00048454
γ=0.06653488

Новые значения параметров кардинально не поменялись, метод наименьших квадратов МНК сразу дал достаточно точное приближение.

Графики.

График функции выживания s(x).

График плотности распределения f(x), кривая смертей (the curve of deaths).
В модели Гомпертца максимум достигается
У плотности заметен максимум в районе 72-75 года и в таблице смертности параметр dx в эти года приближается к максимальному значению ≈2600, а именно . d72=2611, d73=2342, d74=2404, d75=2573, d76=2357, .

Аналитический расчёт средней ожидаемой продолжительности жизни для возраста 0, 15, 45, 60, 65, 70 лет

Для расчёта средней ожидаемой продолжительности жизни используется формула:

Ожидаемая продолжительность жизни согласно статистическим данным 2014-го года составляет
e(0)=64 года
e(15)=49.2633/0.976058=50.47
e(45)=21.5232/0.8408=25.6
e(60)=10.1941/0.647763=15.7
e(65)=7.18764/0.552198=13
e(70)=4.69562/0.442675=10.6
Сравните цифры с этими данными, видно что функция распределения вполне подходит для проведения статистических расчётов.

Пенсия и срок дожития

Срок дожития — установленный правительством и рассчитанный по статистическим данным средний срок жизни гражданина после выхода на заслуженный отдых (время, в течение которого планируется начисление пенсии). Данное понятие используется для определения размера назначаемого пособия, таким образом, чем больше срок дожития, тем меньше ее размер.
Термин «срок дожития» был утверждён постановлением № 531 Правительства РФ 2 июня 2015 года.
Срок дожития используется для определения размера накопительной пенсии. Все пенсионные накопления делятся на ожидаемый период выплаты накопительной пенсии, после чего получаем ежемесячный размер накопительной пенсии. Чем больше срок дожития, тем меньший размер накопительной пенсии, начисляемой пенсионеру.

Страховая пенсия — это гарантированная государством ежемесячная выплата действующим пенсионерам, возмещающая им утраченный доход.
Пусть S60 — это ожидаемый размер всей начисляемой страховой пенсии, если выплаты начинаются в возрасте 60 лет, S70 — ожидаемый размер в случае начала выплат в 70 лет.
Посчитаем отношение S60/S70, предполагая, что в обоих случаях выплачивается какая-то фиксированная сумма P в месяц.

S60/S70=9.8906/4.45716=2.2
Следовательно, чтобы нивелировать эту разницу, необходимо пенсионерам 70 поднять пенсию в 2.2 раза, для чего был изобретён повышающий коэффициент.

Пенсионная формула
Математически пенсионная формула выглядит так:
СП = ПБ • СТ • КПБ + ФВ • КФВ

где:
СП — размер страховой пенсии, в рублях
ПБ — пенсионный балл (индивидуальный пенсионный коэффициент), начисленных на дату назначения гражданину страховой пенсии
СТ — стоимость пенсионного балла в год назначения страховой пенсии, в рублях
ФВ — фиксированная выплата, в рублях
КПБ — коэффициент повышения ПБ при назначении страховой пенсии по старости в более позднем возрасте
КФВ — коэффициент повышения ФВ при назначении страховой пенсии по старости в более позднем возрасте

Повышающий коэффициент при выходе на пенсию позже на 10 лет или более равен КПБ=2.32 и КФВ=2.11. Среднее арифметическое КПБ и КФВ как раз равно ≈2.2.

Функции Excel (по категориям)

Функции упорядочены по категориям в зависимости от функциональной области. Щелкните категорию, чтобы просмотреть относящиеся к ней функции. Вы также можете найти функцию, нажав CTRL+F и введя первые несколько букв ее названия или слово из описания. Чтобы просмотреть более подробные сведения о функции, щелкните ее название в первом столбце.

Ниже перечислены десять функций, которыми больше всего интересуются пользователи.

Эта функция используется для суммирования значений в ячейках.

Эта функция возвращает разные значения в зависимости от того, соблюдается ли условие. Вот видео об использовании функции ЕСЛИ.

Используйте эту функцию, когда нужно взять определенную строку или столбец и найти значение, находящееся в той же позиции во второй строке или столбце.

Эта функция используется для поиска данных в таблице или диапазоне по строкам. Например, можно найти фамилию сотрудника по его номеру или его номер телефона по фамилии (как в телефонной книге). Посмотрите это видео об использовании функции ВПР.

С помощью этой функции можно найти элемент в диапазоне ячеек, а затем вернуть относительное расположение этого элемента в диапазоне. Например, если диапазон a1: A3 содержит значения 5, 7 и 38, то функция формула = MATCH (7; a1: A3; 0) возвращает число 2, поскольку 7 — второй элемент диапазона.

Эта функция позволяет выбрать одно значение из списка, в котором может быть до 254 значений. Например, если первые семь значений — это дни недели, то функция ВЫБОР возвращает один из дней при использовании числа от 1 до 7 в качестве аргумента «номер_индекса».

Эта функция возвращает порядковый номер определенной даты. Эта функция особенно полезна в ситуациях, когда значения года, месяца и дня возвращаются формулами или ссылками на ячейки. Предположим, у вас есть лист с датами в формате, который Excel не распознает, например ГГГГММДД.

Функция РАЗНДАТ вычисляет количество дней, месяцев или лет между двумя датами.

Эта функция возвращает число дней между двумя датами.

FIND и НАЙТИБ найдите одну текстовую строку в другой текстовой строке. Они возвращают номер начальной позиции первой текстовой строки из первого символа второй текстовой строки.

Эта функция возвращает значение или ссылку на него из таблицы или диапазона.

Эти функции в Excel 2010 и более поздних версиях были заменены новыми функциями с повышенной точностью и именами, которые лучше отражают их назначение. Их по-прежнему можно использовать для совместимости с более ранними версиями Excel, однако если обратная совместимость не является необходимым условием, рекомендуется перейти на новые разновидности этих функций. Дополнительные сведения о новых функциях см. в статьях Статистические функции (справочник) и Математические и тригонометрические функции (справочник).

Если вы используете Excel 2007, эти функции можно найти в категориях статистические и математические Excel 2007 на вкладке формулы .

Возвращает интегральную функцию бета-распределения.

Возвращает обратную интегральную функцию указанного бета-распределения.

Возвращает отдельное значение вероятности биномиального распределения.

Возвращает одностороннюю вероятность распределения хи-квадрат.

Возвращает обратное значение односторонней вероятности распределения хи-квадрат.

Возвращает тест на независимость.

Соединяет несколько текстовых строк в одну строку.

Возвращает доверительный интервал для среднего значения по генеральной совокупности.

Возвращает ковариацию, среднее произведений парных отклонений.

Возвращает наименьшее значение, для которого интегральное биномиальное распределение меньше заданного значения или равно ему.

Возвращает экспоненциальное распределение.

Возвращает F-распределение вероятности.

Возвращает обратное значение для F-распределения вероятности.

Округляет число до ближайшего меньшего по модулю значения.

Вычисляет, или прогнозирует, будущее значение по существующим значениям.

Возвращает результат F-теста.

Возвращает обратное значение интегрального гамма-распределения.

Возвращает гипергеометрическое распределение.

Возвращает обратное значение интегрального логарифмического нормального распределения.

Возвращает интегральное логарифмическое нормальное распределение.

Возвращает значение моды набора данных.

Возвращает отрицательное биномиальное распределение.

Возвращает нормальное интегральное распределение.

Возвращает обратное значение нормального интегрального распределения.

Возвращает стандартное нормальное интегральное распределение.

Возвращает обратное значение стандартного нормального интегрального распределения.

Возвращает k-ю процентиль для значений диапазона.

Возвращает процентную норму значения в наборе данных.

Возвращает распределение Пуассона.

Возвращает квартиль набора данных.

Возвращает ранг числа в списке чисел.

Оценивает стандартное отклонение по выборке.

Вычисляет стандартное отклонение по генеральной совокупности.

Возвращает t-распределение Стьюдента.

Возвращает обратное t-распределение Стьюдента.

Возвращает вероятность, соответствующую проверке по критерию Стьюдента.

Оценивает дисперсию по выборке.

Вычисляет дисперсию по генеральной совокупности.

Возвращает распределение Вейбулла.

Возвращает одностороннее P-значение z-теста.

Возвращает свойство ключевого показателя эффективности (КПЭ) и отображает его имя в ячейке. КПЭ представляет собой количественную величину, такую как ежемесячная валовая прибыль или ежеквартальная текучесть кадров, используемой для контроля эффективности работы организации.

Возвращает элемент или кортеж из куба. Используется для проверки существования элемента или кортежа в кубе.

Возвращает значение свойства элемента из куба. Используется для подтверждения того, что имя элемента внутри куба существует, и для возвращения определенного свойства для этого элемента.

Возвращает n-й, или ранжированный, элемент в множестве. Используется для возвращения одного или нескольких элементов в множестве, например лучшего продавца или 10 лучших студентов.

Определяет вычисленное множество элементов или кортежей путем пересылки установленного выражения в куб на сервере, который формирует множество, а затем возвращает его в Microsoft Office Excel.

Возвращает число элементов в множестве.

Возвращает агрегированное значение из куба.

Оценка статьи:

Загрузка...