Oc-windows.ru

IT Новости из мира ПК
22 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Метод хорд и касательных в excel

Решение нелинейных уравнений методом хорд в MS Excel

Тема урока: «Решение нелинейных уравнений в MS Excel».

Цель урока: изучение возможностей MS Excel по решению нелинейных уравнений и практическое освоение соответствующих умений и навыков.

Тип урока: комбинированный – урок изучения нового материала и практического закрепления полученных знаний, умений и навыков.

Вид урока: сдвоенный, продолжительность – 1,5 часа.

Задачи урока:

  • обучающая – научить учащихся решать нелинейные уравнения в среде электронных таблиц MS Excel;
  • развивающая – познакомить учащихся с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений;
  • воспитательная – выработать у учащихся умение рационально использовать время и возможности компьютерных технологий при решении задач.

Оборудование урока:

  • Компьютеры с OS MS Windows;
  • Программа Microsoft Excel;
  • Программа Turbo Pascal;
  • Презентация по теме, выполненная в программе Power Point;
  • Карточки с заданиями для самостоятельной работы.

В данном уроке особое внимание уделено визуальному представлению информации – в ходе урока с помощью проектора демонстрируются слайды, подготовленные в пакете презентационной графики Microsoft Power Point.

I. Организационный момент

Учитель объявляет тему и цели урока.

II. Актуализация знаний, умений и навыков учащихся – повторение материала прошлого урока по теме «Решение нелинейных уравнений методом половинного деления»

Учащиеся повторяют указанный метод с помощью слайдов, подготовленных в пакете презентационной графики Microsoft Power Point метод половинного деления

Вопросы:

  • Всегда ли существуют формулы для «точного» решения уравнений?
  • Сформулируйте основное условие существования корня на заданном отрезке.
  • Запишите уравнение, позволяющее определить координаты середины отрезка.
  • Почему алгоритм решения этой задачи можно назвать циклическим?
  • Какое действие в алгоритме повторяется?
  • Определите условие, при котором действие алгоритма должно остановиться.

III. Изобразите блок-схему алгоритма. блок-схема

IV. Практическое задание с использованием программы на языке Turbo Pascal (Учащимся разрешено использовать программу, составленную на предыдущем уроке. Было решено уравнение y = x 3 – cos(x)) метод половинного деления TP

Задания для учащихся первой группы

Найти решение уравнения y = x 3 – cos(x) на отрезке [–1;1], при = 0,0001

Задания для учащихся второй группы

Найти решение уравнения y = x 3 – cos(x) на отрезке [–1;1], определить на каком шаге циклического алгоритма будет получено решение.

V. Изучение нового материала «Решение нелинейных уравнений методом хорд»

VI. Объяснить алгоритм решения уравнения f(x)=0 на отрезке [а;в] методом хорд с помощью слайдов, подготовленных в пакете презентационной графики Microsoft Power Point. метод хорд

Вопросы:

  • Запишите уравнение, позволяющее определить координаты точки пересечения с осью ОХ.
  • Почему алгоритм решения этой задачи можно назвать циклическим?
  • Какое действие в алгоритме повторяется?
  • Определите условие, при котором действие алгоритма должно остановиться.
  • Изобразите блок-схему алгоритма блок-схема2

Этапы решения задачи

  • Содержательная постановка задачи. Решение уравнения y = x 3 – cos(x) на отрезке [–1,4; 1,4] с точностью = 0,001.
  • Визуализация решения задачи с помощью построения графика заданной функции с помощью процессора MS Excel, используя метод подбора параметра определить корень уравнения.
  • Формальная математическая модель.
    • Задание математической формулы для отыскания корня уравнения на отрезке
    • Задание системы ограничений при использовании циклического алгоритма
    • Требование к диапазону задания переменных

Для формализации модели используем математические формулы.

уравнение прямой, проходящей через две точки, где x1 = a, x2 = в, y1 = f(a), y2 = f(в).

После математических преобразований уравнение примет вид .

Определим корень уравнения

  • Блок схема алгоритма решения задачи блок-схема2
  • Программа на языке Turbo Pascal метод хорд ТР
  • Заполнение расчетной таблицы в программе MS Excel метод хорд xls

Метод хорд

Метод хорд [7] заключается в замене кривой y = f(x) отрезком прямой, проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b)) (см. рис. 2.6). Абсцисса точки пересечения прямой с осью OX принимается за очередное приближение.

Чтобы получить расчетную формулу метода хорд, запишем уравнение прямой, проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b)) и, приравнивая y нулю, найдем x:

.


Рис.2.6. Метод хорд

Алгоритм метода хорд:

3) Если f(xk)= 0 (корень найден), то переходим к 5).

Читать еще:  Построение линии тренда в excel

5) Выводим значение корня xk.

Замечание.Действия третьего пункта аналогичны действиям метода половинного деления. Однако в методе хорд на каждом шаге может сдвигаться один и тот же конец отрезка (правый или левый), если график функции в окрестности корня выпуклый вверх (рис. 2.6, a)) или вогнутый вниз (рис. 2.6, b)). Поэтому в критерии сходимости используется разность соседних приближений.

Пример 2.6. Применим метод хорд к уравнению sin 5x + x 2 – 1 = 0 и отрезку [0,2; 0,3] для определения корня с точностью до ε = 0,001.

Решение. Проведем расчеты в программе Excel:

1) В ячейки A1:H1 запишем заголовки столбцов как в табл. 2.6;

2) В ячейку B3 запишем формулу =ЕСЛИ(C2*E2

Решение в программе Mathcad:

Как видим, результаты расчетов согласуются с предыдущими ответами.

Приведем программу, которая реализует метод хорд на языке C++:

double f(double x);

typedef double (*PF)(double);

double hord(PF f,double a, double b,double eps, int Kmax);

double a, b, x, eps;PF pf; int Kmax;

x = hord(pf,a,b,eps, Kmax); cout > a;

double f(double x)<

double hord(PF f, double a, double b,double eps,int Kmax)<

double xk, xk1, xerr; int k = 0;

xk1 = a — f(a)*(b — a)/(f(b) — f(a));

if (f(xk1) == 0) break;

xerr = fabs(xk1 — xk); xk = xk1;

if (f(xk1)*f(b) > 0) b = xk1;

>while (xerr > eps);

Результат расчета для примера 2.6:

Press any key & Enter

Как видим, результат совпадает с предыдущими расчетами.

Дата добавления: 2015-04-25 ; Просмотров: 4005 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Решение уравнений в EXCEL методом половинного деления, методом хорд и касательных.

При прохождении темы численные методы учащиеся уже умеют работать с электронными таблицами и составлять программы на языке паскаль. Работа комбинированного характера.Расчитана на 40 минут. Цель работы повторить и закрепить навыки паботы с программами EXCEL, ABCPascal. Материал содержит 2 файла. Один содержит теоретический материал, так как он и предлагается ученику . Во 2-м файле пример работы ученика Иванова Ивана.

Скачать:

ВложениеРазмер
материал для ученика57.5 КБ
работа ученика27 КБ

Предварительный просмотр:

Аналитическое решение некоторых уравнений, содержащих, например тригонометрические функции может быть получено лишь для единичных частных случаев. Так, например, нет способа решить аналитически даже такое простое уравнение, как cos x=x

Численные методы позволяют найти приближенное значение корня с любой заданной точностью.

Приближённое нахождение обычно состоит из двух этапов:

1) отделение корней, т.е. установление возможно точных промежутков [a,b], в которых содержится только один корень уравнения;

2) уточнение приближённых корней, т.е. доведение их до заданной степени точности.

Мы будем рассматривать решения уравнений вида f(x)=0. Функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а.Ь]. Значение х 0 называется корнем уравнения если f(х 0 )=0

Для отделения корней будем исходить из следующих положений:

  • Если f(a)* f(b] a, b существует, по крайней мере, один корень
  • Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и f(a)*f(b) и f ‘(x) на интервале (a, b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а, b] существует единственный корень уравнения

Приближённое отделение корней можно провести и графически. Для этого уравнение (1) заменяют равносильным ему уравнением р(х) = ф(х), где функции р(х) и ф(х] более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = р(х) и у = ф(х), искомые корни получим, как абсциссы точек пересечения этих графиков

Для уточнения корня разделим отрезок [а, b] пополам и вычислим значение функции f(х) в точке x sr =(a+b)/2. Выбираем ту из половин [a, x sr ] или [x sr ,b], на концах которых функция f(x) имеет противоположные знаки.. Продолжаем процесс деления отрезка пополам и проводим то же рассмотрение до тех пор, пока. длина [a,b] станет меньше заданной точности . В последнем случае за приближённое значение корня можно принять любую точку отрезка [a,b] (как правило, берут его середину). Алгоритм высокоэффективен, так как на каждом витке (итерации) интервал поиска сокращается вдвое; следовательно, 10 итераций сократят его в тысячу раз. Сложности могут возникнуть с отделением корня у сложных функций.

Для приближенного определения отрезка на котором находится корень можно воспользоваться табличным процессором, построив график функции

ПРИМЕР : Определим графически корень уравнения . Пусть f1(х) = х , a и построим графики этих функций. (График). Корень находится на интервале от 1 до 2. Здесь же уточним значение корня с точностью 0,001(на доске шапка таблицы)

Алгоритм для программной реализации

  1. а:=левая граница b:= правая граница
  2. m:= (a+b)/2 середина
  3. определяем f(a) и f(m)
  4. если f(a)*f(m)
  5. если (a-b)/2>e повторяем , начиная с пункта2

Точки графика функции на концах интервала соединяются хордой. Точка пересечения хорды и оси Ох (х*) и используется в качестве пробной. Далее рассуждаем так же, как и в предыдущем методе: если f(x a ) и f(х*) одного знака на интервале , нижняя граница переносится в точку х*; в противном случае – переносим верхнюю границу. Далее проводим новую хорду и т.д.

Осталось только уточнить, как найти х*. По сути, задача сводится к следующей: через 2 точки с неизвестными координатами (х 1 , у 1 ) и (х 2 , у 2 ) проведена прямая; найти точку пересечения этой прямой и оси Ох.

Запишем уравнение прямой по двум точках:

В точке пересечения этой прямой и оси Ох у=0, а х=х*, то есть

, откуда

процесс вычисления приближённых значений продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений корня х„ и х п _1 не будет выполняться условие abs(xn-x n-1 ) е — заданная точность

Сходимость метода гораздо выше предыдущего

Алгоритм различается только в пункте вычисления серединной точки- пересечения хорды с осью абсцисс и условия останова (разность между двумя соседними точками пересечения)

Уравнения для самостоятельного решения: (отрезок в excel ищем самостоятельно)

Метод хорд и касательных в excel

Часто в классической математике многое выглядит элементарно. Так, если нужно найти экстремум некоторой функции, то предлагается взять ее производную, приравнять нулю, решить полученное уравнение и т.д. Вне сомнения, что первые два действия в состоянии выполнить многие школьники и студенты. Что касается третьего действия, то позвольте усомниться в его элементарности.

Пусть после взятия производной мы пришли к уравнению tg(x)=1/x. Проведем следующие преобразования:
tg(x)=1/x Ю x tg(x)=1 Ю x2 tg=1 Ю x2= 1 / tg(x) Ю x = ±.

Если в приведённой здесь цепочке преобразований ничто не взволновало вашу мысль, то может быть лучше обучение на этом прекратить и заняться чем-нибудь другим, не требующим уровня знаний выше церковно-приходской школы начала XX века.

В самом деле, мы прекрасно решаем квадратные и биквадратные уравнения, наипростейшие тригонометрические и степенные. Еще водятся «мастодонты», знающие о существовании формул Кардано для кубических уравнений. В общем же случае надежд на простое аналитическое решение нет. Более того, доказано, что даже алгебраическое уравнение выше четвертой степени неразрешимо в элементарных функциях. Поэтому решение уравнения проводят численно в два этапа (здесь разговор идет лишь о вещественных корнях уравнения). На первом этапе производится отделение корней — поиск интервалов, в которых содержится только по одному корню. Второй этап решения связан с уточнением корня в выбранном интервале (определением значения корня с заданной точностью).

1.1. Отделение корней

В общем случае отделение корней уравнения f(x)=0 базируется на известной теореме, утверждающей, что если непрерывная функция f(x) на концах отрезка [a,b] имеет значения разных знаков, т.е. f(a) ґ f(b) Ј 0, то в указан-ном промежутке содержится хотя бы один корень. Например, для уравнения f(x)= x 3 -6x+2=0 видим, что при x ®Ґ f(x)>0, при x ®-Ґ f(x) ґ f(x+h) ґ f(b) Ј 0 (рис. 1), тогда на отрезке имеется хотя бы один корень.

Возьмем середину отрезка с=(a+b)/2. Если f(a) ґ f(c) Ј 0, то корень явно принадлежит отрезку от a до (a+b)/2 и в противном случае от (a+b)/2 до b.

Поэтому берем подходящий из этих отрезков, вычисляем значение функции в его середине и т.д. до тех пор, пока длина очередного отрезка не окажется меньше заданной предельной абсолютной погрешности (b-a) e .

Так как каждое очередное вычисление середины отрезка c и значения функции f(c) сужает интервал поиска вдвое, то при исходном отрезке [a,b] и предельной погрешности e количество вычислений n определяется условием (b-a)/2 n e , или n

log2((b-a)/ e ). Например, при исходном единичном интервале и точности порядка 6 знаков ( e

10 -6 ) после десятичной точки достаточно провести 20 вычислений (итераций) значений функции.

С точки зрения машинной реализации (рис. 2) этот метод наиболее прост и используется во многих стандартных программных средствах, хотя существуют и другие более эффективные по затратам времени методы.

1.3. Уточнение корней методом хорд

В отличие от метода дихотомии, обращающего внимание лишь на знаки значений функции, но не на сами значения, метод хорд использует пропорциональное деление интервала (рис. 3).

Рис. 3. Метод хорд

Здесь вычисляются значения функции на концах отрезка, и строится «хорда», соединяющая точки (a,f(a)) и (b,f(b)). Точка пересечения ее с осью абсцисс

Можно доказать, что истинная погрешность найденного приближения:

1.4. Уточнение корней методом касательных (Ньютона)

Обширную группу методов уточнения корня представляют итерационные методы — методы последовательных приближений. Здесь в отличие от метода дихотомии задается не начальный интервал местонахождения корня, а его начальное приближение.

Наиболее популярным из итерационных методов является метод Ньютона (метод касательных).

Рис. 4. Метод касательных

Пусть известно некоторое приближенное значение Zn корня X * . Применяя формулу Тейлора и ограничиваясь в ней двумя членами, имеем

Геометрически этот метод предлагает построить касательную к кривой y=f(x) в выбранной точке x=Zn, найти точку пересечения её с осью абсцисс и принять эту точку за очередное приближение к корню (рис. 4).

Рис. 5. Расходящийся процесс

Рис. 6. Приближение к другому корню

Очевидно, что этот метод обеспечивает сходящийся процесс приближений лишь при выполнении некоторых условий (например при непрерывности и знакопостоянстве первой и второй производной функции в окрестности корня) и при их нарушении либо дает расходящийся процесс (рис. 5), либо приводит к другому корню (рис. 6).

Очевидно, что для функций, производная от которых в окрестности корня близка к нулю, использовать метод Ньютона едва ли разумно.

Если производная функции мало изменяется в окрестности корня, то можно использовать видоизменение метода

Существуют и другие модификации метода Ньютона.

1.5. Уточнение корней методом простой итерации

Другим представителем итерационных методов является метод простой итерации.

Здесь уравнение f(x)=0 заменяется равносильным уравнением x= j (x) и строится последовательность значений

Если функция j (x) определена и дифференцируема на некотором интервале, причем | j /(x)| j (x) на этом интервале.

Геометрическая интерпретация процесса представлена на рис. 7. Здесь первые два рисунка (а, б) демонстрируют одностороннее и двустороннее приближение к корню, третий же (в) выступает иллюстрацией расходящегося процесса (| j /(x)| > 1).

а

б

в

Рис. 7. Геометрическая интерпретация метода простой итерации

Если f ‘(x)>0, то подбор равносильного уравнения можно свести к замене x=x- l Ч f(x), т.е. к выбору j (x)= x- l Ч f(x), где l >0 подбирается так, чтобы в окрестности корня 0 j ‘(x)=1- l Ч f ‘(x) Ј 1. Отсюда может быть построен итерационный процесс

Можно и искусственно подобрать подходящую форму уравнения, например:

Заметим, что существуют и другие методы (наискорейшего спуска, Эйткена-Стеффенсена, Вегстейна, Рыбакова и т.д.) уточнения корней, обладающие высокой скоростью сходимости.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector