Oc-windows.ru

IT Новости из мира ПК
11 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Множитель лагранжа в excel

Microsoft Excel 5.0 Отчет по устойчивости

Дата добавления: 2013-12-23 ; просмотров: 5837 ; Нарушение авторских прав

Изменяемые ячейки

Microsoft Excel 5.0 Отчет по устойчивоcти

Окончательный вид решения нелинейной модели

Отчеты по пределам практически ничем не отличаются от соответствующих отчетов по пределам, выдаваемых для линейных задач. В случае отчетов по устойчивости имеются некоторые различия, которые мы рассмотрим на примере сравнения двух отчетов по решению линейной задачи, приведенной нами выше в Табл. 7.13. Один из этих отчетов по устойчивости, изображенный на Рис. 7.16, получен при решении данной задачи симплекс методом (включаемым кнопкой Линейная модельв диалоговом окне Параметры поиска решения). Второй — получен при решении данной задачи методами нелинейного программирования (см. Рис. 7.17).

Рис. 7. 16. Отчет об устойчивости для линейных задач

Рис. 7.17. Отчет об устойчивости для нелинейных задач

Как видно из сравниваемых отчетов, они иллюстрируют одно и тоже полученное решение. Это значит, что использование обоих методов оптимизации (линейного и нелинейного) привело к получению одного и того же решения. Здесь нет ничего удивительного, поскольку данная задача имеет единственное решение. Однако, в случае, если рассматриваемая задача имеет несколько решений, нет никаких гарантий того, что оба метода оптимизации выберут одно и тоже решение.

Нетрудно также заметить, сравнивая данные отчеты, что значения, указанные в колонках «Редуцированная стоимость» и «Теневая цена» на Рис. 7.16 частично совпадают с величинами, содержащимися в столбцах «Нормир. Градиент» и «Множитель Лагранжа» на Рис. 7.17. При рассмотрении отчетов задач, решаемых симплекс методом, мы определили, что теневые цены ограничений вычисляют предельную стоимость дополнительной единицы ресурса, выражаемого данным ограничением, или величину улучшения целевой функции, при уменьшении имеющегося объема ресурсов данного вида на единицу. Подобная интерпретация может быть отнесена также и к множителям Лагранжа. Главное отличие теневых цен от множителей Лагранжа связано с наличием у первых из них диапазона изменения объемов имеющихся ресурсов, в пределах которого этот показатель сохраняют своё значение. Таким образом, используя симплекс метод, мы могли определить допустимое увеличение или уменьшение объема имеющихся ресурсов, в пределах которых теневая цена ограничения сохраняет своё значение. Мы смогли делать это, поскольку целевая функция и ограничения задачи были линейны, что облегчало расчет изменения целевой функции при изменении объемов имеющихся ресурсов. При использовании нелинейных методов возможности определения допустимых изменений объемов имеющихся ресурсов отсутствуют. Поэтому в таких случаях мы не можем указать диапазон изменения объемов имеющихся ресурсов, в пределах которого множители Лагранжа для каждого ограничения сохраняют своё значение. Множители Лагранжа, таким образом, могут использоваться только для приблизительной оценки влияния на целевую функцию единичных изменений объема имеющихся ресурсов по каждому из ограничений.

Как уже было замечено при решении линейных задач, редуцированная стоимость переменной, показывающая расположение решения относительно верхней и нижней границ, определяет прирост (сокращение) целевой функции при допустимом увеличении этой переменной на единицу. Подобная интерпретация, но в несколько более приближенном смысле, может быть дана показателю «Нормир. градиент» (Reduced gradient). Действительно, ненулевое значение нормированного градиента выражает влияние на целевую функцию малых изменений данной переменной. Так, например, увеличение объема производства продукции второго вида П2 на единицу уменьшает значение целевой функции на две единицы, о чем говорит соответствующее значение редуцированных затрат (Рис. 7.12) и нормированного градиента (Рис. 7.13).

Читать еще:  Ключевое поле excel

На Рис. 7.18 и 7.19 приведены отчеты по пределам и устойчивости для полученного оптимального решения нелинейной задачи определения цен на производимую продукцию (см. Табл. 7.24).

Решение в MS Excel (надстройка «Поиск решения»).

Рис.э.3. Фрагмент электронных таблиц Excel в режиме отображения данных.

Рис.э.4. Диалоговое окно надстройки «Поиск решения» при поиске оптимального решения.

Рис.э.4. Диалоговое окно надстройки «Поиск решения» при поиске оптимального решения.

Рис э.5. Фрагмент электронных таблиц Excel с отчетом по устойчивости

Экономическая интерпретация множителей Лагранжа

Множитель Лагранжа – это двойственная переменная. Как и в линейном программировании, она показывает, на сколько изменится ЦФ при изменении правой части ограничений на единицу.

В рассмотренном примере . Следует ожидать, что при увеличении суммарного объема производимой продукции с 150 до 151 доход уменьшится на 20.

Проверим этот вывод. Пусть в нашей задаче критерий остался прежним, поменялась правая часть ограничения

.

Решим эту задачу в MS Excel (надстройка «Поиск решения»).

Рис.э.6. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения данных.

Стационарная точка ,

Приращение функции -20,67 оказалось больше по модулю, чем ожидаемое приращение -20. Это объясняется нелинейностью целевой функции и тем, что множитель Лагранжа отражает приращение функции только при бесконечно малом приращении аргумента.

Иллюстрация полученного решения в MS Excel.

Чтобы проиллюстрировать полученное решение диаграммами с помощью линий уровня, затабулируем соответствующие функции (рис.э.7). Основную идея -описать решение кв.ур-я. Соответствующая диаграмма приведена на рис.*.10. Эта диаграмма является упрощенным вариантом рис.э.2. Точка соответствующая оптимальным значениям выделена. В ней линия уровня, соответствующая уровню =14 700 и линия равных объемов С=150 касаются и следовательно градиенты коллинеарны. Стрелки градиентов при самостоятельном решении можно нанести любым способом, в т.ч. вручную. На эту диаграмму нанести значения приближений к решению, полученные мтодом приведенного градиента.

Рис.э.7. Фрагмент электронных таблиц Excel в режиме отображения данных. Табулирование целевой функций для построения линий уровня.

Рис.э.8. Фрагмент электронных таблиц Excel в режиме отображения формул. Табулирование целевой функций для построения линий уровня.

Чтобы построить семейство линий уровня или , при разных С заметим, что линии уровня — вложенные (концентрические) эллипсы.

Рассмотрим процесс построения линии при С =1000. Необходимо построить таблицу значений .Для этого явно выразим через , используя соотношение или

Последнее соотношение следует рассматривать как квадратное уравнение относительно : , где . Значения с находится в интервале B15:B58. Значения дискриминанта находится в интервале C15:C58. Квадратное уравнение (при положительном дискриминанте) имеет два корня, это обеспечивает задание верхней и нижней ветвей эллипса. Первый корень находится в интервале D15:D58. Второй корень находится в интервале E15:E58. Построение диаграммы, у которой значения абсциссы лежит в интервале А15:А58, а ординаты в интервале D15:D58, обеспечивает вывод верхней дуги эллипса. Построение диаграммы, у которой значения абсциссы лежит в интервале А15:А58 , а ординаты в интервале E15:E58, обеспечивает вывод нижней дуги эллипса, Другие лини уровня строятся аналогично.

Рис.э.9. Линии уровня целевой функции и равного объема.

Рис.э.10. Линии уровня целевой функции и равного объема. Маркеры треугольники показывают значения приближений к решению, полученные методом приведенного градиента.

Читать еще:  Способы адресации ячеек в excel

Лабораторная работа №12: Нахождение решения задач нелинейного программирования (метод множителей Лагранжа)

Цель работы:

Научиться решать задачи нелинейного программирования.

Рекомендации по решению:

1. При решении задач нелинейного программирования средствами Microsoft Excel используется надстройка Поиск решения, которая позволяет найти оптимальные решения.

2. При решении задач линейного программирования средствами MathCad с помощью встроенной функции Maximize (в случае поиска максимума функции) или Minimize (в случае поиска минимума функции).

Задание к лабораторной работе:

Составить математическую модель задачи. Для расчёта модели использовать метод множителей Лагранжа.

Мукомольный комбинат реализует муку двумя способами: в розницу через магазин и оптом через торговых агентов. При продаже х <кг муки через магазин расходы на реализацию составляют ден. ед., а при продаже x2 кг муки посредством торговых агентов — ден. ед. Определить, сколько кг муки следует продавать каждым способом, чтобы затраты на реализацию были минимальными, если в сутки для продажи выделяется 5000 кг муки.

Решение. Составим математическую модель задачи. Найдем минимум суммарных расходов

Для расчета модели используем метод множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа.

Найдем частные производные функции F по х1, х2 и λ, приравняем к нулю, получим систему уравнений:

Из первого и второго уравнений имеем x1 – x2 =0.

Решая это уравнение совместно с третьим, имеем λ = -5000, х1 = 2500, х2 = 2500, L=12 500 тыс. ден. ед. Давая х1 значения больше и меньше 2500 находим L и из определения экстремума функции получаем, что L при х1 = х2 = 2500 достигает ми­нимума.

Ответ. Для получения минимальных расходов необходимо расходо­вать в сутки через магазин и торговых агентов по 2500 кг муки, при этом расходы на реализацию составят 12 500 тыс. ден. ед.

I вариант решения в Exsel

Переменные:x1x2Значение ЦФ
Значения переменных
Коэффициенты Ц.Ф.Значения огр-ний
Коэффициенты ограничений:

II вариант решения в Exsel

Варианты заданий:

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 9278 — | 7854 — или читать все.

Шпаргалка: Толкование отчетов: по устойчивости, по результатам, по пределам

Тема: Толкование отчетов: по устойчивости, по результатам, по пределам

Тип: Шпаргалка | Размер: 1.10M | Скачано: 125 | Добавлен 31.10.09 в 15:08 | Рейтинг: +3 | Еще Шпаргалки

Отчеты бывают трех типов: по результатам, по устойчивости, по пределам.
По найденным результатам можно создавать отчеты. Такие отчеты полезны для сравнения влияния на решение различных ограничений или исходных данных. Потому они являются очень важными инструментом для анализа полученных результатов и последующего их улучшения в зависимости от возможностей и ресурсов предприятия.

Отчет по пределам
» />
Отчет по пределам состоит из двух частей, что касаются значений ЦФ (Целевое) и плана (Изменяемое).
1 – значение ЦФ (Доход);
2 – оптимальный план задачи;
3 – наименьшее значения, которое может принять неизвестное (в нашем случае количество товара А и Б имеет Нижний предел 0, поскольку мы в Параметрах Поиска решений отметили Неотрицательные значения);
4 – это значение, которое будет в целевой ячейке (Доход), если неизвестное будит равно Нижнему пределу;
5 – это наибольшее значение, которое может содержать неизвестные, чтобы получить максимальную ЦФ;
6 – это значение, которое будет в целевой ячейке (Доход), если неизвестные будут равны Верхнему пределу.
Вывод: как видим, отчет по пределам содержит результаты, которые мы уже имеем в таблице, потому его можно в дальнейшем не выводить.

Читать еще:  Диаграмма в excel это

Отчет по результатам
» />
Отчет по результатам содержит информацию о трех компонентах задачи оптимизации: целевой функции (Целевая ячейка), плана (Изменяемые ячейки), и ограничений (Ограничения).
1 – начальное значение целевой функции при начальном опорном плане (3);
2 – максимальное или минимальное значение (в зависимости от задачи) целевой функции. В нашем случае — 168,57 д. ед.;
3 – начальный опорный план;
4 – оптимальный план задачи. В нашем случае, чтобы получить максимальную выручку в размере 168,37 д. ед., нужно производить 57,14 единиц товара А и 71,43 единиц товара Б (понятно, что товар должен быть в целых единицах, но если бы мы задали такой параметр, то не получили отчеты, которые нужны для анализа и улучшение полученных результатов);
5 – показывает количество использованных ресурсов на производство при оптимальном плане;
6 – формулы ограничений;
7 – показывает влияние ограничений на конечный результат. Если статус «связанное», тогда данное ограничение влияет на полученный план, если «не связан» — значит не влияет. В нашем случае ресурс 1 и 4 имеют статус «не связан» — это значит, что эти ресурсы не ограничивают возможности в производстве, что не скажешь про ресурс 2 и 3, которые использованы полностью;
8 – разница между имеющемся в наличие количеством ресурсов и использованных при полученном плане.
Вывод: большинство данных отчета занесены в таблицу, другие – просто не нужны для анализа. Значит этот вид отчета можно не выводить!

Отчет по устойчивости

» />
Отчет по устойчивости (более точным за содержанием был бы перевод с оригинала sensitivity — чувствительность) есть наиболее интересным и полезным – он определяет чувствительность структуры полученного плану до изменений начальных данных и, согласно, дальнейшие действия менеджера с целью улучшения результатов. Такой отчет не создается для моделей, значения в которых ограничены множеством целых чисел. В случае нелинейных моделей отчет содержит данные для градиентов и множителей Лагранжа.
1 – оптимальный план задачи. В нашем случае, чтобы получить максимальную выручку в размере 168,37 д. ед., нужно производить 57,14 единиц товара А и 71,43 единиц товара Б;
2 – нормированная стоимость касается неизвестных плана. Это неудачный перевод с оригинала reduced cost, которую можно было перевести, как «цена, которая уменьшает (целевую функцию)». Этот показатель, как изменится оптимальное значение ЦФ при выпуске продукции, которой нету в оптимальном плане. Например, если нормированная стоимость товара А была бы -3 (хотя в нашем случае это 0), то принудительный выпуск 2 единиц товара А, которых нету в оптимальном плане привел к уменьшению Дохода на 2•3=6 и составлял бы 168,57-6= 162, 57 д. ед.
3 – коэффициенты ЦФ;
4, 5 – границы изменений значений коэффициентов ЦФ при условии, что количество оптимальной продукции (план) не изменится. Например, если целевой коэффициент товара А (КА) равен 1,15 (цена за 1 единицу товара), то изменяя его в рамках 1,15-0,43 0,72 +3

Понравилось? Нажмите на кнопочку ниже. Вам не сложно, а нам приятно).

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector