Oc-windows.ru

IT Новости из мира ПК
63 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Построение поверхностей второго порядка в excel

Изолинии для частного случая поверхностей второго порядка в EXCEL

Научимся строить изолинии (contour line) в MS EXCEL для одного из частных случаев поверхностей второго порядка: 2*a 12 *x*y+2*a 14 *x+ 2*a 24 *y +2*a 34 *z+a 44 =0 . Изолинии в этом случае выражаются дробно-линейными функциями вида y=(a*x+b)/(c*x+d) .

В статье Изолинии в случае фигуры-плоскости в MS EXCEL было показано как построить изоляции для плоскости в трехмерном пространстве (плоскость задается уравнением A*X+B*Y+C*Z+D=0).

В этой статье построим изолинии (contour line) в MS EXCEL для одного из частных случаев поверхностей второго порядка: 2*a 12 *x*y+2*a 14 *x+2*a 24 *y+2*a 34 *z+a 44 =0. Эта поверхность похожа на лист бумаги, у которого 2 угла загнуты вверх, а 2 вниз.

Примечание : В статье Трехмерные диаграммы (поверхности и изолинии) в MS EXCEL показано как построить изолинии для поверхности задаваемой функцией Z=-sin(X 2 +Y 2 )+1 с использованием штатных средств MS EXCEL: объемных диаграмм и Условного форматирования . Эти средства дают представления о форме изолиний, но имеют серьезные ограничения. Основное их преимущество состоит в простоте и скорости построения, а также универсальности (можно построить изолинии для любых поверхностей, если известно уравнение).

Изолинии для этой поверхности можно построить с помощью диаграммы типа Проволочная поверхность .

К сожалению, такая диаграмма имеет существенное ограничение — невозможно задать уровни изолиний, т.к. они рассчитываются автоматически.

В этой статье покажем как построить изолинии произвольного уровня для поверхности вида Z=A*X+B*Y+C*X*Y+D. Конечный результат будет выглядеть так:

Перед построением диаграммы исследуем уравнение поверхности. Это поможет нам построить изолинии и убережет от ошибок.

У данной поверхности есть особые точки, точнее 2 асимптоты: Х=-B/C и Y=-A/C.

Каждая изолиния состоит из двух частей (ветвей), расположенных в противоположных четвертях относительно асимптот. Мы будем их отображать одним цветом. Кроме того, для каждой ветви нам потребуется своя таблица с данными.

Исходные данные

Для построения диаграммы нам потребуется совсем не много исходных данных, а именно:

  • коэффициенты для задания уравнения поверхности: А, В, С и D;
  • начальное и конечное значение для Х и Y (можно задать начальное значение, количество точек и величину шага).

Алгоритм расчета точек изолиний

  • Рассчитываем координаты прямоугольника, ограничивающего область построения (выделен на диаграмме бордовым цветом). Диапазон А38:С43 ;
  • Вычисляем максимальное и минимальное значение Z для заданного диапазона значений Х и Y. Диапазон В19: В20 ;
  • Вычисляем значения для 10-и уровней изолиний (значение Z изменяется равномерно от минимального до максимального). Диапазон АI10: АI19 ;
  • Находим точки пересечения изолиний и прямоугольника, представляющего границу области определения. Если изолиния пересекает какую-либо сторону прямоугольника, то делает это только 1 раз. Каждая изолиния имеет 2 точки пересечения с прямоугольником: вход и выход, которые расположены на разных сторонах прямоугольника. Точка входа является первой точкой изолинии на диаграмме. Точка имеет координаты (Х;Y). Диапазон BR7: BY19 ;
  • Имея координаты точки входа и зная сторону прямоугольника, на которой она находится, вычисляем границы маленького квадратика (его стороны равны шагу по Х и по Y, т.е. ΔХ и ΔY, обычно равные). Маленький квадратик на диаграмме не отображается, он используется для вычисления точек изолинии. Диапазон S43:Z43 ;
  • Находим точку, в которой изолиния пересекает границы этого квадратика — это будет единственная точка, т.к. это следствие того, что мы выбрали именно такой тип поверхности. Эта точка будет следующей точкой диаграммы. Диапазон AF43:AI43 ;
  • Повторяем процедуру с маленьким квадратиком: точкой входа в него будет точка, вычисленная на предыдущем шаге. Процедура повторяется пока не будет достигнута граница области определения (бордовый прямоугольник);
  • Аналогично строится вторая ветвь изолинии (см. ячейку AN36 ). Для этого в отдельной таблице находится вторая точка входа (Диапазон BR23:BW33 ) и процедура с маленьким квадратиком повторяется.

Для построения одной ветви изолинии используется 40 точек. Если изолиния короткая, то может потребоваться меньше точек.

Как видно из приведенного выше алгоритма — процедура достаточно трудоемка. Кроме того, если необходимо изменить тип поверхности, например, гиперболический параболоид, то расчетные таблицы придется еще усложнить, т.к. в этом случае изолиния может пересекать одну сторону границы области определения сразу в 2-х точках. Но, если Вам требуется построить поверхность типа Z=A*X+B*Y+C*X*Y+D, то вышеуказанный алгоритм будет работать для любых коэффициентов А, В, С, D и для любых границ области определения.

Построение диаграммы

Изолинии в файле примера построены на диаграмме типа Точечная . Всего в диаграмме использовано 23 ряда:

  • 10 изолиний по 2 ветви каждая;
  • граница области определения;
  • 2 асимптоты.

Табличные процессоры. Лабораторная работа 9.
Диаграммы. Поверхности. Таблица подстановки

Линии занимают особое положение в геометрии. Используя линии, можно создать наглядные модели многих процессов и проследить их течение во времени. Линии позволяют установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами. С помощью линий удаётся решать многие научные и инженерные задачи, решение которых аналитическим путём часто приводит к использованию чрезвычайно громоздкого математического аппарата. Линии широко используются при конструировании поверхностей различных технических форм.

  • Поверхность – это плоская, двухмерная форма.
  • Поверхность – это площадь, которая окружает и ограничивает тело.
  • Поверхность – это геометрическое место линии, движущейся в пространстве по определённому закону. Эту линию называют образующей. Она может быть прямой, тогда образованную ей поверхность относят к классу линейчатых. Если образующая – кривая линия, поверхность считают нелинейчатой. Линию, по которой перемещают образующую, называют направляющей. В качестве последней иногда используют след поверхности.

Поверхности классифицируют следующим образом:

  1. Поверхности вращения линейчатые (Все поверхности этого класса образованы вращением прямой линии вокруг другой прямой. Две прямые могут занимать относительно друг друга три различных положения. Каждому из них соответствует своя поверхность вращения).
    • Конус (участвует в образовании формы диаграммы направленности антенны, поверхности положения объекта в пространстве, антенны и её облучателя, диффузора громкоговорителя, резонатора, отражателя радиоволн, электроннолучевых трубок и электронных ламп, световода, деталей вакуумных установок и так далее).
    • Цилиндр (применяют при образовании формы волноводов, антенн, амортизаторов приборов, зеркал лазеров, корпусов датчиков и так далее).
    • Однополостный гиперболоид (Форму однополостного гиперболоида имеют некоторые радиомачты. Он также образует форму вибрационных питателей, используемых в промышленной автоматике, кулачков, соединителей контактов и так далее).
  2. Поверхности вращения нелинейчатые (К этому классу относят в основном поверхности, образованные вращением кривых второго порядка).
    • Шар (образуют вращением окружности вокруг её диаметра).
    • Тор (круговой, параболический, эллиптический). Образуют вращением окружности (или эллипса) вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не являющейся её диаметром.
    • Эллипсоид (вытянутый и сжатый).
    • Двуполостный гиперболоид.
    • Параболоид.
    • Поверхность вращения общего вида.
  3. Поверхности с плоскостью параллелизма.
    • Цилиндроид.
    • Коноид (геликоид).
    • Гиперболический параболоид (образуют вращением параболы вокруг её фокальной оси).
  4. Поверхности, задаваемые каркасом (К ним относятся поверхности, образование которых не подчинено определённому геометрическому закону. Эти поверхности задают каркасом – семейством линий, принадлежащих им и параллельных координатным плоскостям).
Читать еще:  Символ начала строки excel

Построение поверхности

Для построения поверхности необходимо задать значения переменных по 3 осям – X,Y,Z, т.е. решить уравнение с тремя неизвестными графическим путем. Рассмотрим последовательно построение различных поверхностей.

Построение плоскости

Плоскость задается уравнением 1 порядка, например: 2Z-4X+Y=0. Откуда Z=(4X-Y)/2. Сначала заполняют таблицу для построения. В ячейки А2-А11 вносим значения Х, в ячейки В1-К1 – значения Y. Формулу для Z записываем в ячейку А1. Затем выделяем блок ячеек, которые в дальнейшем будут изображены на оси Z. (Для скорейшего заполнения таблицы используем меню Данные-Таблица подстановки. В формуле записаны пустующие ячейки А12 и L1. Затем выделяем блок ячеек А1-К11. После вызова диалогового окна Таблица подстановки, подставляем значения по столбцам и строкам в соответствующие ячейки). (Для 2007: Меню Формулы – группа РешенияПоиск. Если ее нет на экране, то кН. Оффис – параметры Excel – Надстройки – в строке (внизу!) Управление: надстройки Excel – кн. Перейти – выбрать Мастер подстановок (установить флажок O) – ОК – установить компонент).

И таблица заполняется значениями Z, по которой и строится Поверхность.

Построение нелинейных поверхностей

Уравнение конуса имеет вид , где а – радиус основания конуса, с – высота конуса. (Поверхность построена при а=2, с=2).

Построение поверхностей второго порядка в табличном процессоре Microsoft Excel

by Ирина Кяршис

ГЛАВА 1. Возможности табличного процессора Microsoft Excel

1.1.Ввод данных в Excel

Электронная таблица – это программа, позволяющая автоматизировать табличные расчеты. Документ Microsoft Ехсел является рабочей книгой, состоящей из листов. Таблица состоит из 65536 строк и 256 столбцов. Строки нумеруются числами, столбцы – буквами латинского алфавита (А, В …, Z, АА, АВ …). На пересечении строки и столбца расположена ячейка, которая имеет адрес, состоящий из имени столбца и номера строки (А4). Одна из ячеек всегда является активной.

Прямоугольная группа смежных ячеек называется диапазоном ячеек. Примеры диапазонов – А2: С4, В2: К40.

Ячейки могут содержать данные трех типов:

1) Текстовые данные – это строка текста произвольной длины.

2) Числовые данные – это отдельное число. Может быть целым, дробным (зап.). Если ширина ячейки мала, то число записывается в экспоненциальной форме, например 125 000 000 → 1,25Е + 8 или вместо числа ставятся символы ###. При этом число сохраняется.

3) Формула – это арифметическое выражение. Он представляет собой последовательность чисел, ссылок на ячейки и функций, объединенных знаками арифметических операций: +, -, /, *. Excel предлагает несколько сотен встроенных функций, которые разделены на категории.

Ввод формулы в ячейку необходимо начинать со знака =. В ячейке вместо правильного результата, финансирования при ее вычислении.

Формулы можно копировать, использую относительную и абсолютную адресацию . Относительный адрес доступа к помещению, исходя из ее расстояния до другого ячейки столбца или строки. При копировании формулы, хранящиеся адреса, эти адреса изменяются в соответствии с новым положением формулы.

Читать еще:  Webcam запись видео

Абсолютный адрес ячейки описывает ее точные координаты. При копировании формулы, сохраненный адрес, эти адреса не изменяются. Запись абсолютных адресов содержит знаки доллара ($ A $ 2). Можно использовать смешанные адреса, которые задают столбец относительно, а строку абсолютно, или наоборот (A $ 5, $ D3).

1.2.Типы диаграмм

В зависимости от типа диаграммы данные отображаются на ней разным способом.

Можно отметить несколько стандартных типов:

1. Гистограмма . В этом типе диаграмм данные отображаются в виде вертикальных или горизонтальных столбцов. Высота каждого столбца соответствует отображаемому значению. Если отображается несколько согласованных рядов, то столбцы либо строятся рядом, либо один над другим.

2. Линейчатая . Создание и настройка Линейчатой диаграммы аналогично Гистограмме. Различие состоит в том, что столбцы расположены не вертикально, а горизонтально.

3. График . Диаграмма График создана для отображения графиков функций (одному значению Х соответствует только одно значение Y). В этих диаграммах точки соединяются линиями.

4. С областями . Диаграмма с областями похожа на график.

5. Круговая диаграмма . В этом типе диаграмм величины отражаются секторами круга. Чем больше величина, тем большую долю круга занимает ее отображение.

Диаграмма Круговая не похожа на другие типы диаграмм, прежде всего потому, что формально в ней не используются Оси.

6. Точечная . Визуально Точечная диаграмма похожа на диаграмму типа График (если у Точечной диаграммы точки соединены линиями)

7. Поверхность . Диаграмма, в которой ряды становятся линиями для некоторой поверхности в объеме.

8. Лепестковая диаграмма . Каждый ряд отображается как линия, соединяющая точки на радиусах.

Подробнее о типах диаграмм здесь

1.3 Основы построения диаграмм в Excel

Чтобы создать диаграмму в MS Excel, сначала необходимо создать таблицу с исходными данными.
Для построения диаграммы необходимо как минимум один столбец (строка) числовых данных.
Необходимо выделить необходимый диапазон данных в таблице. Далее на вкладке Вставка в группе Диаграммы выбрать тип диаграммы.
Практически у всех типов диаграмм есть следующие элементы:
1. Название диаграммы
2. Область диаграммы
3. Область построения
4. Ряд данных (может быть несколько)
5. Подписи данных (для каждого ряда)
6. Легенда (нужна при наличии нескольких рядов данных, позволяет отличить разные наборы данных на диаграмме)
7. Оси (вертикальная, горизонтальная, вспомогательные). Осей нет у круговой диаграммы.

Совокупность этих элементов определяет макет диаграммы.

Для настройки макета существует отдельная вкладка Макет. В этой вкладке, а также на вкладке Формат есть группа Текущий фрагмент, с помощью которой можно быстро выделить нужный элемент.
Разберем основные элементы макета.
1. Название диаграммы. При создании диаграммы на основе таблицы с одним числовым столбцом, заголовок столбца автоматически становится названием диаграммы и именем ряда.
Выделить название диаграммы можно просто кликнув на него левой кнопкой мыши (или можно выбрать пункт Название диаграммы).

Дважды кликнув по Названию диаграммы левой клавишей мыши, будет выведено окно его свойств. Можно настроить отображение названия в нужном стиле.

Основные настройки также можно сделать через вкладку Формат, группа Стили фигур и Стили WordArt или через вкладку Главная, группа Шрифт.
2. Область диаграммы – это прямоугольник, на котором располагаются все остальные элементы диаграммы. Область диаграммы можно отформатировать по своему усмотрению
Для каждого типа диаграмм в MS EXCEL 2010 существуют заранее созданные стили.
Применение стиля коснется формата всех элементов макета (названия, области диаграммы, подписей данных, осей, области диаграммы и др.), даже если они в данный момент не выделены (в отличие от Стилей фигур на вкладке Формат, которые применяются только к выделенному элементу диаграммы).
3. Область построения . Настройка формата Области построения аналогична настройке формата Области диаграммы.
4. Ряды данных . Каждая диаграмма должна содержать хотя бы 1 Ряд данных. В зависимости от типа диаграммы отображение Ряда данных и его настройка будут различными.
Чтобы выделить Ряд данных, нужно кликнуть левой клавишей мыши по одному из столбцов гистограммы (или линии на диаграмме типа График, или по кругу на круговой диаграмме и т.д.) Также можно выбрать нужный Ряд в выпадающем списке, который находится в группе Текущий фрагмент на вкладке Макет или Формат.
Если Ряд данных выделен, то на листе также выделяется диапазон ячеек, содержащий источник данных. Настроить формат Ряда данных можно с помощью вкладки Формат или с помощью Окна свойств.
Чтобы удалить Ряд данных: кликните на нужный ряд данных и нажмите на клавиатуре клавишу DELETE. Если будет удален последний ряд, то вместе с ним удалятся Оси, Легенда и Область построения, но останется Область диаграммы.
5. Подписи данных . Чтобы отобразить подписи данных, необходимо выделить нужный ряд данных, а затем во вкладке Макет в группе Подписи выбрать нужный вариант размещения подписи.
Подписи данных, как правило, представляют собой значения из исходной таблицы, на основании которых и была построена диаграмма. Дважды кликнув на одну из подписей левой клавишей мыши можно вызвать диалоговое окно для настройки свойств подписи.
В качестве подписи можно установить не только само значение, но и имя ряда и имя категории (для Точечной диаграммы – значения Х).
В окне Формат подписей данных имеется вкладка Число, через которую можно настроить отображение числовых значений.
В случае необходимости можно индивидуально отредактировать подпись к определенной точке ряда.

Читать еще:  Текст не вмещается в ячейку excel

6. Легенда . Полезна только при наличии нескольких рядов данных, т.к. позволяет отличить их на диаграмме.

Чтобы отобразить Легенду, необходимо во вкладке Макет в группе Легенда выбрать нужный вариант размещения. В том же меню доступно диалоговое окно Формат легенды для настройки свойств. Через тоже меню можно удалить Легенду (или нажать на клавиатуре клавишу DELETE).
В случае необходимости можно удалить из Легенды отображение имени определенного ряда.
7. Оси . При создании Гистограммы, Графика или Точечной диаграммы создаются горизонтальная и вертикальная оси (основные).

Конкретные параметры оси зависят от типа диаграммы и от типа оси (вертикальная или горизонтальная). Диалоговое окно свойств оси можно вызвать, выбрав пункт Горизонтальная ось или Вертикальная ось в выпадающем списке, который находится в группе Оси на вкладке Макет или Формат.
Можно создать Названия для осей и линии сетки по основным и вспомогательным значениям оси.
Если необходимо изменить источник данных или добавить новый ряд данных, то для этого выделите диаграмму, на вкладке Конструктор в группе Данные нажмите пункт Выбрать данные.

ГЛАВА 2. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

2.1 Уравнения поверхностей второго порядка и их графики

Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением: x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1, где a, b, c – полуоси эллипсоида.

Если a = b = c, имеем сферу (шар): x^2+y^2+z^2=a^2.

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением: x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1, где a и b – действительные полуоси, с – мнимая полуось.

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением: x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=-1,где с – действительная полуось, a и b – мнимые полуоси.

Поверхностная диаграмма в Excel и пример ее построения

Принцип построения поверхностных диаграмм в Excel можно сравнить с рельефными картами. Где положение пункта определяется не только долготой и широтой, но и третьей величиной – высотой.

Данное сравнение поможет понять, как создать на первый взгляд сложную поверхностную диаграмму в Excel и как ее использовать.

Построение поверхностной диаграммы в Excel

Практический пример применения и создания поверхностной диаграммы в Excel.

Напряжение излучения в квадратной комнате определено формулой z=[sin(x)*y] 2 . Начало осей координат расположено центру комнаты.

Визуально сложно определить место в комнате, где наиболее интенсивное излучение. Создадим графическое представление ситуации, которое будет читабельно даже для дилетантов.

Сначала выполним все необходимые расчеты и вычисления в таблице. А поверхностную диаграмму построим на основе уже полученных данных.

  1. Заполните таблицу как указано на рисунке.
  2. Выделите диапазон B2:L12 так, чтобы B2 активной ячейкой выделенного диапазона (выделяйте с верхнего левого угла B2 диапазона к нижнему правому углу до ячейки L12).
  3. Не снимая выделения, введите в строку формул: =(SIN(B$13)*$A2)^2 и нажмите комбинацию клавиш CTRL+Enter. Обратите внимание, как мы используем в аргументах формулы смешанные ссылки на ячейки.
  4. Между столбцами A и B вставьте новый столбец и заполните его вторую ячейку формулой: =» «&A2 (не забудьте поставить пробел между кавычками). Скопируйте эту формулу во все ячейки столбца до 12-ой строки (то есть заполните этой формулой диапазон ячеек B2:B12).
  5. Выделите диапазон: B2:M12 и выберите инструмент: «Вставка»-«Диаграммы»-«Другие»-«Поверхность».

Теперь четко видно на диаграмме что наибольшая интенсивность излучения находится в углах комнаты.

Чтобы правильно настроить горизонтальную ось X, щелкните по диаграмме, чтобы ее активировать и выберите инструмент: «Работа с диаграммами»-«Конструктор»-«Выбрать данные».

В появившемся окне «Выбор источника данных» в правом разделе «Подписи горизонтальной оси (категории)» щелкните на кнопку «Изменить».

В окне «Подписи оси» измените значение, выделив диапазон ячеек C13:M13 и на всех диалоговых окнах нажмите ОК.

Краткое описание примера

Стоит отметить! При создании поверхностной диаграммы мы изменили числовые значения столбца A в текстовые, поместив их в столбец B с помощью формулы . Если бы мы этого не сделали, то Excel воспринял бы эти числовые значения (столбца A) как данные для построения поверхностной диаграммы, а не как подписи данных.

Если бы мы просто присвоили текстовый формат для значений столбца A (вместо дополнительного столбца с формулами), тогда мы просто получили бы ошибку при расчетах.

Вот в такой нехитрый способ мы красиво сделали подписи для осей диаграммы и не допустили ошибок при расчетах.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector
×
×